고유값, 고유벡터

$Av = \lambda v$

여기서 A는 정방행렬, v는 고유벡터(eigenvector), λ는 고유값(eigenvalue)입니다. 이 식은 고유벡터를 정방행렬에 곱하면 결과로 고유벡터 자기 자신의 상수배를 얻는다는 의미입니다.

• $ v \rightarrow A \rightarrow Av $ : 선형변환
• $ \alpha \rightarrow F \rightarrow F(\alpha) $ : 행렬A를 함수처럼 생각할 수 있다.

additivity(가법성)는 벡터 공간에서 선형 변환(선형 연산)이 덧셈에 대해 성립함을 의미합니다.
$T(u + v) = T(u) + T(v)$ 여기서 T는 선형 변환, u와 v는 벡터입니다. 위 식은 벡터 u와 v를 선형 변환에 적용한 결과의 합은 각각의 벡터를 선형 변환한 결과의 합과 동일하다는 의미입니다.
$T(cv) = cT(v)$ 여기서 c는 스칼라 값입니다. 이 식은 스칼라 값 c를 벡터 v에 곱한 후 선형 변환을 적용한 결과는 선형 변환을 먼저 적용한 후 스칼라 값 c를 곱한 결과와 동일하다는 의미입니다.

 

즉, eigenvector는 A를 통해 선형변환이 되어도 방향이 유지되는 벡터이고 eigenvalue는 변화의 양을 나타내는 scalar값입니다.

 

선형변환 관점에서 invertible

$v_1 \rightarrow A \rightarrow Av_1 $, $v_2 \rightarrow A \rightarrow Av_2 $에서

$Av_1 = Av_2$라면 inverible하지 않습니다. invertible하다면 $Av_1$을 $v_1$로 되돌릴 수 있어야하는데, $v_1, v_2$로 돌려야하는지 알 수 없습니다..

고유값과 고유벡터를 구하는 방법

$Av - \lambda v = (A- \lambda I)v = 0$를 구하면 됩니다. $(A- \lambda I)v = 0$에서 $v =0$ 이면 trivalsolution이기 때문에 0이 아닌 해가 존재해야합니다. $det(A- \lambda I) = 0$이면 invertible 하지 않고 invertible하지 않다면 nontrival한 solution을 가집니다. 그러므로 $det(A- \lambda I) = 0$을 만족시키는 $\lambda$를 구하면 된다. $N(A- \lambda I)$의 basis를 구하면 그 벡터가 eigenvector가 됩니다.